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<!DOCTYPE html>

<title>Quadrik</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Quadrik</h1>

</header>

</div>

Eine Quadrik (von <a href="Latein" title="Latein">lateinisch</a> quadra Quadrat) ist in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> die <a href="L%C3%B6sungsmenge" title="Lösungsmenge">Lösungsmenge</a> einer <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">quadratischen Gleichung</a> mehrerer Unbekannter. In zwei Dimensionen bildet eine Quadrik im Regelfall eine <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> in der <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a>, wobei es sich dann um einen <a href="Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnitt</a> handelt. In drei Dimensionen beschreibt eine Quadrik im Regelfall eine <a href="Fl%C3%A4che_(Mathematik)" title="Fläche (Mathematik)">Fläche</a> im <a href="Euklidischer_Raum" title="Euklidischer Raum">Raum</a>, die auch Fläche zweiter Ordnung oder quadratische Fläche genannt wird. Allgemein handelt es sich bei einer Quadrik um eine <a href="Algebraische_Variet%C3%A4t" title="Algebraische Varietät">algebraische Varietät</a>, also um eine spezielle <a href="Hyperfl%C3%A4che" title="Hyperfläche">Hyperfläche</a>, in einem endlichdimensionalen reellen <a href="Koordinatenraum" title="Koordinatenraum">Koordinatenraum</a>. Durch eine <a href="Hauptachsentransformation" title="Hauptachsentransformation">Hauptachsentransformation</a> lässt sich jede Quadrik auf eine von drei möglichen <a href="#Normalformen">Normalformen</a> transformieren. Auf diese Weise können Quadriken in verschiedene grundlegende Typen klassifiziert werden.

Quadriken werden insbesondere in der <a href="Analytische_Geometrie" title="Analytische Geometrie">analytischen</a> und der <a href="Projektive_Geometrie" title="Projektive Geometrie">projektiven Geometrie</a> untersucht. Anwendungen für Quadriken in Technik und Naturwissenschaften finden sich unter anderem in der Geodäsie (<a href="Referenzellipsoid" title="Referenzellipsoid">Referenzellipsoid</a>), der Architektur (<a href="Tragwerk_(Bauwesen)" title="Tragwerk (Bauwesen)">Tragwerkskonstruktion</a>) oder der Optik (<a href="Parabolspiegel" title="Parabolspiegel">Parabolspiegel</a>).

Die jeweilige Quadrik, d. h. Lösungsmenge, wird im Folgenden mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/131bb2da649dd6c113517c5ae8c26370654ee8fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\textstyle Q}" loading="lazy"> bezeichnet. Darüber hinaus wird auf dieser Seite zur möglichst einfachen Unterscheidung der verwendeten <a href="Symbol" title="Symbol">Symbole</a> die folgende in der <a href="Lineare_Algebra" title="Lineare Algebra">Linearen Algebra</a> übliche <a href="Notation" title="Notation">Notation</a> verwendet:

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"> repräsentiert eine <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reelle Zahl</a>,

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {a} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51e4cec647b67833b512fffcee880d2b1bbd7a74.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.162ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {a} }" loading="lazy"> einen Vektor (aufrecht in Kleinbuchstaben),

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} }</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Eine Quadrik ist eine <a href="Menge" class="mw-disambig" title="Menge">Menge</a> im <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionalen reellen <a href="Koordinatenraum" title="Koordinatenraum">Koordinatenraum</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c510b63578322050121fe966f2e5770bea43308d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.897ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> der Form

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45f44d2ddd8265ee4f4a165cebc0d19336b99613.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.106ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\right\}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef3f08bb40e4eec8b2a65b7ab9dbc32c5921fbe8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:43.646ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c}" loading="lazy"></dd></dl>

ein <a href="Quadratische_Form" title="Quadratische Form">quadratisches Polynom</a> in den Variablen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/737e02a5fbf8bc31d443c91025339f9fd1de1065.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.11ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}" loading="lazy"> ist. Mindestens einer der Polynomkoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{11},\dots ,a_{nn}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{11},\dots ,a_{nn}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49cb360802965e1d9ef64e9b4c533739f692faa0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.719ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{11},\dots ,a_{nn}}" loading="lazy"> muss dabei ungleich null sein. Zudem kann <a href="Ohne_Beschr%C3%A4nkung_der_Allgemeinheit" title="Ohne Beschränkung der Allgemeinheit">ohne Einschränkung</a> vorausgesetzt werden, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7cb3e899e03e50fec81e0f9b4977f59e27149618.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:8.512ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a6c11b8c109c92881f6ab9b5117bd83258d82d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.695ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle i,j\in \{1,\dotsc ,n\}}" loading="lazy"> gilt. Eine Quadrik ist damit die <a href="Nullstellenmenge" title="Nullstellenmenge">Nullstellenmenge</a> eines quadratischen Polynoms mehrerer Variablen beziehungsweise die <a href="L%C3%B6sungsmenge" title="Lösungsmenge">Lösungsmenge</a> einer <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">quadratischen Gleichung</a> mit mehreren Unbekannten.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beispiele">Beispiele</h2></div>

Zum Beispiel beschreibt die Menge der Punkte

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+3y^{2}=5\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a4f7185044b122755cba621c7dda5be9c4d202cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:34.511ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+3y^{2}=5\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

eine <a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> in der Ebene. Die Menge der Punkte

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9775de55251bdc455ed175adfeef71fe65a42ddb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:39.293ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

beschreibt ein einschaliges <a href="Hyperboloid" title="Hyperboloid">Hyperboloid</a> im dreidimensionalen Raum.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Matrixdarstellung">Matrixdarstellung</h3></div>

In kompakter <a href="Matrix_(Mathematik)" title="Matrix (Mathematik)">Matrixnotation</a> kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{\mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \mathrm {x^{T}} \mathrm {A} \mathrm {x} +2\mathrm {b^{T}} \mathrm {x} +c=0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42a34dc19c3b819b7268757f1bcfbe0447edb56b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:38.216ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{\mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \mathrm {x^{T}} \mathrm {A} \mathrm {x} +2\mathrm {b^{T}} \mathrm {x} +c=0\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

beschrieben werden, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A} =(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} =(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f73dc44710ff2d5ad558d5edd0bfcf4b5278eca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:17.36ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A} =(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}}" loading="lazy"> eine <a href="Symmetrische_Matrix" title="Symmetrische Matrix">symmetrische Matrix</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {b} =(b_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {b} =(b_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f76bc92c3e7814cba9e85f7b5e8bfd06e47cf25d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.735ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {b} =(b_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> sowie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {x} =(x_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {x} =(x_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1eb1fcd6a3cd0e9bc7ef4d30edcd7205c42f1229.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.002ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {x} =(x_{i})\in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> <a href="Spaltenvektor" class="mw-redirect" title="Spaltenvektor">Spaltenvektoren</a> entsprechender Länge sind. Mit Hilfe der erweiterten Darstellungsmatrix

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42f66fbc79973463d573dec3f0aa0c3f46fdc202.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:15.341ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} ={\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}}" loading="lazy"></dd></dl>

und dementsprechend erweiterten Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\bar {x}} ={\tbinom {\mathrm {x} }{1}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\bar {x}} ={\tbinom {\mathrm {x} }{1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b3550f76e88fd323e1fac298189bb55d276ed69a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.324ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\bar {x}} ={\tbinom {\mathrm {x} }{1}}}" loading="lazy"> kann eine Quadrik auch kompakt durch die Menge

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{\mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \mathrm {{\bar {x}}^{T}} \mathrm {\bar {A}} \,\mathrm {\bar {x}} =0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9f2cd57256201e79f068b8302b61fc08484c130.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:26.814ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{\mathrm {x} \in \mathbb {R} ^{n}\mid \mathrm {{\bar {x}}^{T}} \mathrm {\bar {A}} \,\mathrm {\bar {x}} =0\right\}}" loading="lazy"></dd></dl>

in <a href="Homogene_Koordinaten" title="Homogene Koordinaten">homogenen Koordinaten</a> dargestellt werden.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Typen">Typen</h3></div>

Bei Quadriken werden drei grundlegende Typen unterschieden. Die Entscheidung, um welchen Typ es sich bei einer gegebenen Quadrik handelt, kann anhand der <a href="Rang_(Lineare_Algebra)" title="Rang (Lineare Algebra)">Ränge</a> der Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A} }" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\mathrm {A|b} )}">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {A|b} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/997fe7e7f9ae022b192a596aa0d66e2b90800edb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.492ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {A|b} )}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a068a63949df5dec0856f05748d6707c32c081f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }" loading="lazy"> getroffen werden:<a href="#cite_note-arens719-1">[1]</a>

<ul><li>Kegeliger Typ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0e5822c1e9800a57f7d0a0a66e42caee5f16248.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.381ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}" loading="lazy"></li>

<li>Mittelpunktsquadrik: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98ecfbd20ff371b74853f457b78747b7b5f98739.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.381ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {\bar {A}} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}" loading="lazy"></li>

<li>Parabolischer Typ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9873bbc366b12d4a4b491ae122d11153d017ef7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:21.201ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \operatorname {rang} (\mathrm {A|b} )>\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}" loading="lazy"></li></ul>

Eine Quadrik heißt dabei ausgeartet, falls

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det \mathrm {\bar {A}} =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1fdb9858ba97b808e83c1755f0f54d81f2875309.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.621ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \det \mathrm {\bar {A}} =0}" loading="lazy"></dd></dl>

gilt. Während nichtausgeartete Quadriken in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen bilden, weisen ausgeartete Quadriken in manchen Richtungen geradlinige Strukturen auf oder sind anderweitig degeneriert.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Transformationen">Transformationen</h3></div>

Quadriken lassen sich durch <a href="%C3%84hnlichkeitsabbildung" title="Ähnlichkeitsabbildung">Ähnlichkeitsabbildungen</a> transformieren, ohne dass sich ihr Typ dadurch verändert. Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {S} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {S} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c563e70d0445fc47b5f8dab0f17c489b14bef668.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.294ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {S} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}" loading="lazy"> eine <a href="Regul%C3%A4re_Matrix" title="Reguläre Matrix">reguläre Matrix</a>, dann erhält man durch die <a href="Lineare_Transformation" class="mw-redirect" title="Lineare Transformation">lineare Transformation</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {y} =\mathrm {S^{-1}} \mathrm {x} }">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {y} =\mathrm {S^{-1}} \mathrm {x} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8330b2fc0a31fdfb345900694bb7039eb9d46b39.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.179ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {y} =\mathrm {S^{-1}} \mathrm {x} }" loading="lazy"> eine neue Quadrik in den Koordinaten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02710f4c20aea678d977191a5909052c4177046b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.729ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}" loading="lazy">, die der Gleichung

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mtr>

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</mrow>

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</mrow>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mtr>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mtable>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</msup>

</mrow>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}} &0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S} &0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}AS} &\mathrm {S^{T}b} \\\mathrm {b^{T}S} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d8abfb050383fa2628a3614d55db61efd16bdf7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:80.06ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}} &0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S} &0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}AS} &\mathrm {S^{T}b} \\\mathrm {b^{T}S} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

genügt. Ebenso erhält man durch eine <a href="Parallelverschiebung" title="Parallelverschiebung">Parallelverschiebung</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {y=x-u} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {y=x-u} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/292919bbd39fbcc6184096fd8bb47cf9dadd473f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.686ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {y=x-u} }" loading="lazy"> um einen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {u} \in \mathbb {R} ^{n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {u} \in \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb7f2319d60b7bf48ac0931c594c8825e019e200.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.03ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {u} \in \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> eine neue Quadrik, die die Gleichung

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

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</mtable>

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<mrow>

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</msup>

</mrow>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mtr>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</mtd>

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</mrow>

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</mtr>

</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

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</mtable>

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</mtd>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {I} &0\\\mathrm {u^{T}} &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {I} &\mathrm {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {Au+b} \\\mathrm {u^{T}A+b^{T}} &\mathrm {u^{T}Au+2b^{T}u} +c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0cc5bd62c4f1338195ef0790fe5998776207fb9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:97.916ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {I} &0\\\mathrm {u^{T}} &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {I} &\mathrm {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {y^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {Au+b} \\\mathrm {u^{T}A+b^{T}} &\mathrm {u^{T}Au+2b^{T}u} +c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {y} \\1\end{pmatrix}}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

mit der <a href="Einheitsmatrix" title="Einheitsmatrix">Einheitsmatrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {I} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {I} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3fe488fe4632616640bfc3192935e3f590ae2a8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.842ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {I} \in \mathbb {R} ^{n\times n}}" loading="lazy"> erfüllt. Insbesondere ändert sich der Rang der Matrizen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A,(A\mid b)} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A,(A\mid b)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1bad7535db8b9dee7d3038e299473506cbb2c618.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.559ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A,(A\mid b)} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2a068a63949df5dec0856f05748d6707c32c081f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {\bar {A}} }" loading="lazy"> durch solche <a href="Affinit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Affinität (Mathematik)">Affinitäten</a> nicht.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \det(\mathrm {A} )\neq 0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \det(\mathrm {A} )\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d787fd140b3a5bec37280306dc3f6384a41a489.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.043ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \det(\mathrm {A} )\neq 0}" loading="lazy">, so lassen sich beide Methoden mittels <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {y=S^{-1}x} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {y=S^{-1}x} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2d4994ce3d04a71dc2a6cc4cefb84ea36f07debe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.179ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {y=S^{-1}x} }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {z=y+S^{-1}A^{-1}b} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {z=y+S^{-1}A^{-1}b} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2df31b75f28034ab045b324858ad80a638ae3d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.192ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {z=y+S^{-1}A^{-1}b} }" loading="lazy"> zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {z=S^{-1}(x+A^{-1}b)} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {z=S^{-1}(x+A^{-1}b)} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d47f6878654fb2ede33a191d0f251416502214ca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:19.002ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {z=S^{-1}(x+A^{-1}b)} }" loading="lazy"> kombinieren:

<mrow>

<mtr>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

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</mtable>

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</mtable>

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</mtable>

</mrow>

<mrow>

<mtr>

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</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {z^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}} &0\\\mathrm {-b^{T}A^{-1}} &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S} &\mathrm {-A^{-1}b} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {z} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {z^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}AS} &0\\0&\mathrm {-b^{T}A^{-1}b} +c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {z} \\1\end{pmatrix}}=0.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/15f68b33fb59be2a487e7778302e977469a7a5d2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:101.816ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {z^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}} &0\\\mathrm {-b^{T}A^{-1}} &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {A} &\mathrm {b} \\\mathrm {b^{T}} &c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S} &\mathrm {-A^{-1}b} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {z} \\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {z^{T}} \!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {S^{T}AS} &0\\0&\mathrm {-b^{T}A^{-1}b} +c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {z} \\1\end{pmatrix}}=0.}" loading="lazy"></dd></dl>

Da die Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A} }" loading="lazy"> symmetrisch ist, ist sie orthogonal diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine orthogonale Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {S} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {S} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c11737cd802423c767d0c99b41e83af186ea4a20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {S} }" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {S^{-1}AS=S^{T}AS=:D} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {S^{-1}AS=S^{T}AS=:D} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/397fcd2d0dbc734a1ec94a073c7882ed6ac8a29f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:21.027ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {S^{-1}AS=S^{T}AS=:D} }" loading="lazy"> eine Diagonalmatrix ist. Damit kann die Quadrik durch die Bedingung

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {z^{T}Dz-b^{T}A^{-1}b} +c=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b7f1c00558d8396453913c09d2a06cd31f4012f3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:24.288ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {z^{T}Dz-b^{T}A^{-1}b} +c=0}" loading="lazy"></dd></dl>

ausgedrückt werden. Es kommen also keine gemischt-quadratischen und keine linearen Terme mehr vor. Der Mittelpunkt der Quadrik liegt somit bei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {z=0} \Leftrightarrow \mathrm {x=-A^{-1}b} }">

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {z=0} \Leftrightarrow \mathrm {x=-A^{-1}b} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bdf28a923179d645044fc4b3cfad9a065015cf1c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.41ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {z=0} \Leftrightarrow \mathrm {x=-A^{-1}b} }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Normalformen">Normalformen</h3></div>

Durch eine <a href="Hauptachsentransformation" title="Hauptachsentransformation">Hauptachsentransformation</a> lässt sich jede Quadrik auf eine der folgenden <a href="Normalform" title="Normalform">Normalformen</a> transformieren. Hierzu wird zunächst eine <a href="Orthogonale_Matrix" title="Orthogonale Matrix">orthogonale Matrix</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {S} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {S} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c11737cd802423c767d0c99b41e83af186ea4a20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {S} }" loading="lazy">, beispielsweise eine <a href="Drehmatrix" title="Drehmatrix">Dreh-</a> oder <a href="Spiegelungsmatrix" title="Spiegelungsmatrix">Spiegelungsmatrix</a>, derart gewählt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {S^{T}AS} }">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {S^{T}AS} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d3e204423c375ce5275dbc768cb80543fb83a7f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.747ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {S^{T}AS} }" loading="lazy"> eine <a href="Diagonalmatrix" title="Diagonalmatrix">Diagonalmatrix</a> ergibt, die die <a href="Eigenwerte" class="mw-redirect" title="Eigenwerte">Eigenwerte</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff6366939c4ebbd4e8494d0dedc54c4b8dd7135a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A} }" loading="lazy"> in absteigender Reihenfolge enthält. Im zweiten Schritt wird die transformierte Quadrik derart um einen Vektor <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {u} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {u} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43cefa783fd444978c05b01a4530adc536eb39c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {u} }" loading="lazy"> verschoben, dass auch die linearen Terme und der konstante Term weitestgehend verschwinden. Schließlich wird die Quadrik noch so normiert, dass der konstante Term, sofern er nicht null ist, zu eins wird. Dadurch ergeben sich die folgenden drei Normalformen:<a href="#cite_note-arens719-1">[1]</a>

<ul><li>Kegeliger Typ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=0}">

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94184ebd15cbcde6aa4c3d791a9e83b2180c57db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:39.532ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=0}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n,\ p\geq r-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n,\ p\geq r-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1f826474960547bbe1aaca9237a251aa6f427f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.012ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n,\ p\geq r-p}" loading="lazy"></li>

<li>Mittelpunktsquadrik: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}">

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f90414e40e0b71ef238d70e12b8cf1a26402407.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:39.532ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/304c11e7bae21cb121f88dd4ecd6387fe4b4ceae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.071ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1\leq p\leq r\leq n}" loading="lazy"></li>

<li>Parabolischer Typ: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}-2x_{r+1}=0}">

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3c79be1c983df8b6fbfbe786e9a2fbe554afc1ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:47.939ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}+\dotsb +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}^{2}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}-2x_{r+1}=0}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq p\leq r<n,\ p\geq r-p}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq p\leq r<n,\ p\geq r-p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f40b386b4ceba86212873656fe013e72346931f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:25.012ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 1\leq p\leq r<n,\ p\geq r-p}" loading="lazy"></li></ul>

Hinzu kommt als Spezialfall die

<ul><li><a href="Leere_Menge" title="Leere Menge">Leere Menge</a>: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}">

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a23239aec7002f952bec70a196866f21503fc848.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:21.229ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle -{\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}^{2}}}-\dotsb -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}^{2}}}=1}" loading="lazy">   mit   <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1\leq r\leq n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1\leq r\leq n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97c285f65976ce516e4afcecde719fab26e059f0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.803ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 1\leq r\leq n}" loading="lazy"></li></ul>

In allen Fällen sind die Koeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{r}>0}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{r}>0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/097fb5d8cb1dcf76dff22c5bd643cbd5cf051fc9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:14.442ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{r}>0}" loading="lazy">. Die Kennzahlen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda >0\}|}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda >0\}|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f904fe05f92a8766c9874536496dd9b1d01c5837.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:23.704ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle p=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda >0\}|}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda \neq 0\}|=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda \neq 0\}|=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4dd1209c35699b8a9d37031d1760c6688f5c684d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.674ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=|\{\lambda \in \sigma (\mathrm {A} )\colon \lambda \neq 0\}|=\operatorname {rang} (\mathrm {A} )}" loading="lazy"> ergeben sich dabei aus der <a href="Signatur_(lineare_Algebra)" class="mw-redirect" title="Signatur (lineare Algebra)">Signatur</a> der Matrix <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {A} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A} }</annotation>

</semantics>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Klassifikation">Klassifikation</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quadriken_in_einer_Dimension">Quadriken in einer Dimension</h3></div>

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer <a href="Quadratische_Gleichung" title="Quadratische Gleichung">quadratischen Gleichung</a> mit einer Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

<mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{x\in \mathbb {R} \mid ax^{2}+bx+c=0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1483a145d380d2c103be69e922c57c52c9f0efa9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:32.322ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{x\in \mathbb {R} \mid ax^{2}+bx+c=0\right\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Durch Verschiebung (<a href="Quadratische_Erg%C3%A4nzung" title="Quadratische Ergänzung">quadratische Ergänzung</a>) und Normierung lassen sich die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Nicht ausgeartete Quadriken

</th>

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Ausgeartete Quadriken

</th></tr>

<tr>

<td>Zwei Lösungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9e36f3b43b8baa40f4ce50fc881b9ec4db80e70a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.639ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>Eine Lösung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59324882331f4a3f6f9a0781f571842f4aa584fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.639ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr>

</tbody></table>

In dem verbleibenden Fall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51545a30fbb8c01078da3b855041fa020a823886.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:8.789ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}" loading="lazy"> ergibt sich als Lösungsmenge die leere Menge. In allen Fällen ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edd4f784b6e8bb68fa774213ceacbab2d97825dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.749ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \alpha >0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quadriken_in_der_Ebene">Quadriken in der Ebene</h3></div>

In der Ebene ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b19ce48d20802f53ec0f5d481325e19e0afc5bef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:55.33ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\right\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Hierbei handelt es sich bis auf degenerierte Fälle um <a href="Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnitte</a>, wobei ausgeartete Kegelschnitte, bei denen die Kegelspitze in der Schnittebene enthalten ist, von nicht ausgearteten Kegelschnitten unterschieden werden. Durch Hauptachsentransformation lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Nicht ausgeartete Quadriken

</th>

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Ausgeartete Quadriken

</th></tr>

<tr>

<td style="padding-left:3em; padding-right:3em"><a href="Ellipse" title="Ellipse">Ellipse</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1dc313e5e3b952cbbe236de79af1b97a694be858.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.707ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>Zwei schneidende <a href="Gerade" title="Gerade">Geraden</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f815d98fd484f2cd80f314db1a61d94d1dff729c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.707ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Hyperbel_(Mathematik)" title="Hyperbel (Mathematik)">Hyperbel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86d9261077550b5884c987e4813e2a548b313251.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.707ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>Zwei parallele Geraden <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Parabel_(Mathematik)" title="Parabel (Mathematik)">Parabel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27c3afbaeb009367721fc76b07391856d1134dd4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:12.797ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>Eine Gerade <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>Ein <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fddaa5076b09bad7abd22386c78a403823fa09a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.707ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr></tbody></table>

In den beiden verbleibenden Fällen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19c5edd24015f294f4d3261b49fc86e0e0b9b160.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:14.242ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51545a30fbb8c01078da3b855041fa020a823886.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:8.789ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}" loading="lazy"> ergibt sich als Lösungsmenge jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f650e33744628e414c5e7bc24ecf964e3a39554f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.114ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta >0}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Quadriken_im_Raum">Quadriken im Raum</h3></div>

Im dreidimensionalen Raum ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit drei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax^{2}+bxy+cxz+dy^{2}+eyz+fz^{2}+gx+hy+iz+j=0\right\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d5f9527b46f4db08f41a5a9fc81b5a0929bcf1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:80.923ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax^{2}+bxy+cxz+dy^{2}+eyz+fz^{2}+gx+hy+iz+j=0\right\}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Im Raum ist die Vielfalt der Quadriken deutlich größer als in der Ebene. Hier gibt es ebenfalls ausgeartete und nicht ausgeartete Quadriken. Unter den ausgearteten Quadriken finden sich dabei auch einfach gekrümmte Flächen, wie Zylinder und Kegel. Ähnlich wie in zwei Dimensionen lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:<a href="#cite_note-2">[2]</a>

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Nicht ausgeartete Quadriken

</th>

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Ausgeartete Quadriken (gekrümmte Flächen)

</th>

<th colspan="2" class="hintergrundfarbe-basis">Ausgeartete Quadriken (Ebenen u. a.)

</th></tr>

<tr>

<td><a href="Ellipsoid" title="Ellipsoid">Ellipsoid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}+{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}+{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6b51628c50c54010f456b9440c36c3a2cc9ee50d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.717ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}+{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td><a href="Elliptischer_Kegel" class="mw-redirect" title="Elliptischer Kegel">Elliptischer Kegel</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c47e46eecb67da21e1e667f48dc77acc75efb55.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.717ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>Zwei schneidende Ebenen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/300bb6466afc1a84a772693309cdb2f80addfc6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:13.707ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Einschaliges_Hyperboloid" class="mw-redirect" title="Einschaliges Hyperboloid">Einschaliges Hyperboloid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27bdb32a18dc2980f99f40a4b91ab13e41c82c10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.717ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td><a href="Elliptischer_Zylinder" class="mw-redirect" title="Elliptischer Zylinder">Elliptischer Zylinder</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td>

<td>Zwei parallele Ebenen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e44ec59fe59fd8ac7e1e65e906486207d2dac12f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:7.639ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Zweischaliges_Hyperboloid" class="mw-redirect" title="Zweischaliges Hyperboloid">Zweischaliges Hyperboloid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=-1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/62582ae3ad1658464978816405d1b41fefd901da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:21.525ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=-1}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td><a href="Hyperbolischer_Zylinder" class="mw-redirect" title="Hyperbolischer Zylinder">Hyperbolischer Zylinder</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td>

<td>Eine Ebene <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}=0}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Elliptisches_Paraboloid" class="mw-redirect" title="Elliptisches Paraboloid">Elliptisches Paraboloid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}">

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<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebfdd054eb248cfed216c3094ed00a399107f23d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.798ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td><a href="Parabolischer_Zylinder" class="mw-redirect" title="Parabolischer Zylinder">Parabolischer Zylinder</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}">

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<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</td>

<td>

</td></tr>

<tr>

<td><a href="Hyperbolisches_Paraboloid" class="mw-redirect" title="Hyperbolisches Paraboloid">Hyperbolisches Paraboloid</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}">

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

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</mrow>

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</msup>

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</mrow>

</mstyle>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/90e55bc4baeab87c75c7ce3618e855f339fd6d4b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.798ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>

</td>

<td>Ein Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0}">

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d85bf48de14f1709d62af61051f1522dab423106.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:19.717ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0}" loading="lazy">

</td>

<td>

</td></tr>

</tbody></table>

In den drei verbleibenden Fällen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=1}">

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

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</mstyle>

</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

</msup>

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</mstyle>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5388c30e0c7407fccbb12325f42e2d22bada733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:19.655ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=1}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}">

<mfrac>

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</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

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<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51545a30fbb8c01078da3b855041fa020a823886.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:8.789ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle -{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1}" loading="lazy"> ergibt sich als Lösungsmenge wiederum jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/977ce11335d2302cdcb128e55d708aa3f0ed310b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.411ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma >0}" loading="lazy">.

Für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef6894a6c2f414b03c984a1c7f0639063b0020ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.918ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\beta }" loading="lazy"> (bzw. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =\gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =\gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b82201fad2d4f0a3b374681cf6963f7b85cd3687.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.693ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \beta =\gamma }" loading="lazy"> im Fall des zweischaligen Hyperboloids) erhält man in folgenden Fällen <a href="Rotationsfl%C3%A4che" title="Rotationsfläche">Rotationsflächen</a>, die auch als <a href="Drehquadrik" title="Drehquadrik">Drehquadriken</a> bezeichnet werden: <a href="Rotationsellipsoid" title="Rotationsellipsoid">Rotationsellipsoid</a>, ein- und zweischaliges <a href="Rotationshyperboloid" class="mw-redirect" title="Rotationshyperboloid">Rotationshyperboloid</a>, <a href="Rotationsparaboloid" class="mw-redirect" title="Rotationsparaboloid">Rotationsparaboloid</a>, <a href="Kreiskegel" class="mw-redirect" title="Kreiskegel">Kreiskegel</a> und <a href="Kreiszylinder" class="mw-redirect" title="Kreiszylinder">Kreiszylinder</a>. <a href="Regelfl%C3%A4che" title="Regelfläche">Regelflächen</a>, also Flächen, die von einer einparametrigen <a href="Geradenschar" class="mw-redirect" title="Geradenschar">Geradenschar</a> erzeugt werden, sind Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Die letzteren drei Flächen werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzig möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Projektive_Quadriken">Projektive Quadriken</h2></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation">→ Hauptartikel: <a href="Projektive_Quadrik" title="Projektive Quadrik">Projektive Quadrik</a></div>

Die Vielfalt der Quadriken verringert sich erheblich, wenn man sowohl den affinen Raum, in dem eine Quadrik definiert ist, als auch die Quadrik selbst <a href="Projektiver_Raum" title="Projektiver Raum">projektiv</a> abschließt. Die projektiven Erweiterungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sind projektiv alle zueinander äquivalent, das heißt, es gibt eine projektive <a href="Kollineation" title="Kollineation">Kollineation</a>, die die eine Kurve auf die andere abbildet (siehe <a href="Projektiver_Kegelschnitt" title="Projektiver Kegelschnitt">projektiver Kegelschnitt</a>).

Im dreidimensionalen Raum sind folgende Quadriken äquivalent:

<ul><li>Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid und elliptisches Paraboloid,</li>

<li>einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid,</li>

<li>elliptischer, hyperbolischer, parabolischer Zylinder und Kegel.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

Allgemeiner können Quadriken auch in Vektorräumen über einem beliebigen <a href="K%C3%B6rper_(Algebra)" title="Körper (Algebra)">Körper</a>, also auch über dem Körper der <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen Zahlen</a> oder auch über <a href="Endlicher_K%C3%B6rper" title="Endlicher Körper">endlichen Körpern</a> betrachtet werden.<a href="#cite_note-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-arens719-1">↑ <a href="#cite_ref-arens719_1-0">a</a> <a href="#cite_ref-arens719_1-1">b</a> Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, <a href="Hellmuth_Stachel" title="Hellmuth Stachel">Hellmuth Stachel</a>: <cite style="font-style:italic">Mathematik</cite>. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2011, ISBN 3-8274-2347-3, S. 719.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quadrik&rft.au=Tilo+Arens%2C+Frank+Hettlich%2C+Christian+Karpfinger%2C+...&rft.btitle=Mathematik&rft.date=2011&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=3827423473&rft.pages=719&rft.pub=Spektrum+Akademischer+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: <cite style="font-style:italic">Höhere Mathematik 1</cite>. 6. Auflage. Springer, 2003, ISBN 978-3-540-41850-4, S. 345.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quadrik&rft.au=Kurt+Meyberg%2C+Peter+Vachenauer&rft.btitle=H%C3%B6here+Mathematik+1&rft.date=2003&rft.edition=6.&rft.genre=book&rft.isbn=9783540418504&rft.pages=345&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> <a href="Hanfried_Lenz" title="Hanfried Lenz">Hanfried Lenz</a>: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1965, S. 155.

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Teubner-Verlag, Leipzig 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 283.</li>

<li>Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II, Teubner-Verlag, Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 341.</li>

<li>dtv-Atlas zur Mathematik. Band 1, Deutscher Taschenbuch-Verlag, ISBN 3-423-03007-0, S. 200–203.</li>

<li>Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S. 343.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Quadric_surfaces?uselang=de">Commons: Quadric surfaces</a> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Quadrik" class="extiw external" title="wikt:Quadrik">Wiktionary: Quadrik</a> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<ul><li>V. S. Malakhovskii: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Quadric</cite>. In: <a href="Michiel_Hazewinkel" title="Michiel Hazewinkel">Michiel Hazewinkel</a> (Hrsg.): <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic"><a href="Encyclopedia_of_Mathematics" class="mw-redirect" title="Encyclopedia of Mathematics">Encyclopedia of Mathematics</a></cite>. Springer-Verlag und <a href="European_Mathematical_Society" title="European Mathematical Society">EMS</a> Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Quadric">encyclopediaofmath.org</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Quadrik&rft.atitle=Quadric&rft.au=V.+S.+Malakhovskii&rft.btitle=Encyclopedia+of+Mathematics&rft.date=2002&rft.genre=book&rft.isbn=1556080107&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer-Verlag+und+EMS+Press" style="display:none"> </li>

<li><a href="Eric_Weisstein" title="Eric Weisstein">Eric W. Weisstein</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html">Quadratic Surface.</a> In: <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a> (englisch).</li>

<li>pahio: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://planetmath.org/quadraticsurfaces">Quadratic Surfaces.</a> In: <a href="PlanetMath" title="PlanetMath">PlanetMath</a>. (englisch)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-Material/bsp-quadriken/">Bilder von Quadriken im Raum</a></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/qs/quadric-surfaces_en.html">Interaktive 3D-Modelle aller Quadriken</a></li></ul></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-07-21" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Quadrik&oldid=258175409">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

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</main>

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</body></html>